Question

已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数，有.

Answer 1

(1)  (2)见解析

(1)由题意可知,进而可得,
令,,然后讨论b=1和,
当b=1时，是等差数列.其通项公式易求.
当时，要构造等比数列,，说明数列为等比数列,易求其通项公式，进而求出C_n.
(2) （ⅰ）当时，成立；
当时,,
,
然后根据等比数列前n项和公式进行研究即可.
解：（1），
   令
    ------------2分
（ⅰ）当时， ------- 4分
（ⅱ）当时，,
数列为等比数列，所以，
--------- 8分
（2）证明: （ⅰ）当时，--------------10分
（ⅱ）当时，



      
即;
所以：对于一切正整数，有.----------------15分