题目内容
已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，那么（Ⅰ）函数的最小正周期是什么？（Ⅱ）函数在什么区间上是增函数？
分析：（Ⅰ） 先利用二倍角公式化简可得y=sin2x+cos2x+2，再利用辅助角公式化简得y=
sin(2x+
)+2，从而可求函数的最小正周期；
（Ⅱ） 整体思维，利用正弦函数的单调性，可得2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，化简即可得到函数的增区间．
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ） 整体思维，利用正弦函数的单调性，可得2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ） y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------（2分）
=
sin(2x+
)+2，---------------------------------------------------（5分）
∴函数的最小正周期是π．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z---------------------------（8分）
得 kπ-
≤x≤kπ+
--------------------------------------------------------（10分）
∴函数的增区间为：[kπ-
，kπ+
]，k∈Z--------------------------------（12分）
=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------（2分）
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴函数的最小正周期是π．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
得 kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数的增区间为：[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：本题重点考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确运用二倍角公式及辅助角公式是解题的关键．
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个单位，得到的曲线与y=
sinx图象相同，则y=f(x)的函数表达式为（ ）
sin（
-
） B.y=
sin2（x+
）
sin（
+
） D.y=
sin（2x-
）
