题目内容
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
AA1，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1
（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
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（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1
（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1
又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．
（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D，
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，
而AB∥A1B1，所以
AB⊥平面C1DF，又AB?平面ABC1，故
平面ABC1⊥平面C1DF．
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．
由已知AB=
AA1，不妨设AA1=
，则AB=2，DF=
，DC1=
，
C1F=
，AD=
=
，DH=
=
=
，
所以sin∠HAD=
=
．
即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为
．
又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．
（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D，
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，
而AB∥A1B1，所以
AB⊥平面C1DF，又AB?平面ABC1，故
平面ABC1⊥平面C1DF．
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．
由已知AB=
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C1F=
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A
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| 3 |
| DF•DC1 |
| C1F |
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| ||
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所以sin∠HAD=
| DH |
| AD |
| ||
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即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为
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,
,底面
为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, 
,O为AD中点.
与平面
所成角的余弦值；
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上是否存在一点
，使得二面角
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？若存在,求出
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