题目内容

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
AA1，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1
（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1
又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．

（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D，
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，
而AB∥A1B1，所以
AB⊥平面C1DF，又AB?平面ABC1，故
平面ABC1⊥平面C1DF．
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．
由已知AB=
2
AA1，不妨设AA1=
2
，则AB=2，DF=
2
，DC1=
3
，
C1F=
5
，AD=
A
A21
+AD2
=
3
，DH=
DF•DC1
C1F
=
2
×
3
5
=
30
5
，
所以sin∠HAD=
DH
AD
=
10
5
．
即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为
10
5
．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O为AD中点.

(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ．
如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥ab，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．请指出图中所有互相垂直的平面，并说明理由．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，
（1）求证：BC⊥侧面PAB；
（2）求证：侧面PAD⊥侧面PAB．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．
在空间坐标系中的点M（x，y，z），若它的柱坐标为(3，
π
3
，3)，则它的球坐标为（　　）
A．(3，
π
3
，
π
4
)		B．(3
2
，
π
3
，
π
4
)		C．(3，
π
4
，
π
3
)		D．(3
2
，
π
4
，
π
3
)

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