Question

【题目】已知函数f（x）=a3x+1 ， g（x）=（ ）5x﹣2 ， 其中a＞0，且a≠1．
（1）若0＜a＜1，求满足f（x）＜1的x的取值范围；
（2）求关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=a3x+1，0＜a＜1，

由f（x）＜1，即a3x+1＜1=a0，

由0＜a＜1，

∴f（x）=a3x+1，在（﹣∞，+∞）上单调递减，

∴3x+1＞0，解得：x＞﹣ ，

∴满足f（x）＜1的x的取值范围（﹣ ，+∞）

（2）

解：由不等式f（x）≥g（x），即a3x+1≥（ ）5x﹣2=a2﹣5x，

当0＜a＜1时，函数f（x）=ax在R单调递减，

∴3x+1≤2﹣5x，解得：x≤ ，

当a＞1时，函数f（x）=ax在R单调递增，

3x+1≥2﹣5x，解得：x≥ ，

故当0＜a＜1时，解集为：{x丨x≤ }；当a＞1时，解集为：{x丨x≥ }

【解析】（1）由f（x）＜1，即a3x+1＜1=a0 ， 由0＜a＜1，则f（x）=a3x+1 ， 在（﹣∞，+∞）上单调递减，因此3x+1＞0，解得：x＞﹣ ，即可求得f（x）＜1的x的取值范围；（2）由不等式f（x）≥g（x），即a3x+1≥（ ）5x﹣2=a2﹣5x ， 则0＜a＜1时，函数f（x）=ax在R单调递减，则3x+1≤2﹣5x，解得：x≥ ，同理当x＞1时，即可求得不等式f（x）≥g（x）的解集．
【考点精析】关于本题考查的指数函数的图像与性质，需要了解a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点;ax=a，即x=1时，y等于底数a;在0<a<1时:x<0时，ax>1,x>0时，0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时，ax>1才能得出正确答案．