Question

（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.

(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；

(2)求证：n>m；

(3)若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围.

Answer 1

解析：(1)因为f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x(x－1)·ex，

由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，

所以f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

欲使f(x)在[－2，t]上为单调函数，则－2<t≤0.

(2)因为f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝e.

又f(－2)＝<e，所以f(x)仅在x＝－2处取得[－2，t]上的最小值f(－2)，

从而当t>－2时，f(－2)<f(t)，即m<n.

(3)由(1)知f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

故当t＝0或t＝1时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上不可能有三个不等实根，

所以t≥2，且t∈N.

当t≥2，且t∈N时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上有三个不等实根，

只需满足m∈(max(f(－2)，f(1))，min(f(0)，f(t)))即可.

因为f(－2)＝，f(0)＝3，f(1)＝e，f(2)＝e2，且f(t)≥f(2)＝e2>3＝f(0)，

因而f(－2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t)，

所以f(1)<m<f(0)，即e<m<3，

即实数m的取值范围是(e,3).