题目内容

已知函数
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在
,使得. 试用这个结论证明:若函数
(其中),则对任意,都有
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都
.

(Ⅰ) ;(2)详见解析;(3)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)利用导数法判断函数的单调性,根据函数在极值时有极值求出参数的值;(Ⅱ)构造新函数再利用导数法求解;(Ⅲ)由已知条件得出,再利用第(Ⅱ)问的结论对任意,都有求解.
试题解析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为,且
所以,得,此时.
时,,函数在区间上单调递增;
时,,函数在区间上单调递减.
函数处取得极大值,故                 4分
(Ⅱ)令
.
因为函数在区间上可导,则根据结论可知:存在
使得                                7分

时,,从而单调递增,
时,,从而单调递减,
故对任意,都有         .           9分
(Ⅲ),且
 
同理,                12分
由(Ⅱ)知对任意,都有,从而
.     14分
考点:导数的基本运算;导数与函数的单调性关系;不等式的基本性质与证明.

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