Question

8．已知两直线l₁：xcosθ-y（2cos²θ-1）+6=0和l₂：2xsinθ+$\sqrt{3}$y+3=0，当l₁⊥l₂时，θ=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

Answer 1

分析 若l₁⊥l₂，则2sinθcosθ-$\sqrt{3}$（2cos²θ-1）=sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=0，进而得到答案．

解答 解：∵两直线l₁：xcosθ-y（2cos²θ-1）+6=0和l₂：2xsinθ+$\sqrt{3}$y+3=0，l₁⊥l₂，
∴2sinθcosθ-$\sqrt{3}$（2cos²θ-1）=sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=0，
故2θ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
故θ=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故答案为：$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

点评 本题考查的知识点是两条直线垂直的判定，二倍角公式，和差角公式，三角函数的定义，难度中档．