题目内容

18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．
（1）已知（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），试判断该三角形的形状；
（2）已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断该三角形的性状；
（3）已知b=$\sqrt{13}$，且$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{b}{2a+c}$，求△ABC的面积的最大值；
（4）已知△ABC为锐角三角形，$\sqrt{3}$tanAtanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，且c=2．求a2+b2的取值范围．

分析 （1）利用两角和公式对等式进行化简整理，求得$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，利用正弦定理转化成角的正弦，进而约分求得sin2A=sin2B，进而确定A，B的关系，确定三角形的形状．
（2）利用正弦定理把已知等式中的边均化为角的三角函数式，再应用两角和的余弦公式推证cos（B+C）=0，使问题得解：
（3）根据正弦定理，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简，利用三角形的面积公式以及余弦定理结合基本不等式进行求解即可；
（4）利用两角和差的正切公式结合正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．

解答 解：∵对于（1）：（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B）．
∴（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB）=（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）．
整理求得a2cosAsinB=b2sinAcosB，
即：$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$
∴△ABC是等腰△或Rt△．
对于（2）：由正弦定理，原式化为：
8k2sin2Bsin2C=8k2sinBsinCcosBcosC，
∵sinBsinC≠0，
∴sinBsinC=cosBcosC，
即cos（B+C）=0，
∴B+C=90°，A=90°，
故△ABC为直角三角形．
对于（3）：由 $\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{b}{2a+c}$得：$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
即2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
又0＜A＜π，∴sinA≠0，则cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵b=$\sqrt{13}$，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
即13=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤$\frac{13}{3}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{12}$（当且仅当ac时取等号），
则△ABC面积最大值为$\frac{13\sqrt{3}}{12}$．
对于（4）：∵$\sqrt{3}$tanA•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，即tan（A+B）=-tanC=-$\sqrt{3}$，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵∠C为三角形的内角，
则∠C=$\frac{π}{3}$；
∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π-∠C=$\frac{2π}{3}$，即∠B=$\frac{2π}{3}$-∠A，
∴$\frac{π}{6}$＜∠A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜2∠A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∵c=2，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，
∴a2+b2=$\frac{16}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{16}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜2∠A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，即$\frac{20}{3}$＜$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤8，
则a2+b2的范围为（$\frac{20}{3}$，8]．

点评 此题考查解三角形的应用，利用两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

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