题目内容

【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图,其中前三段的频率成等比数列.
(1)求图中实数a的值;
(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数;
(3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X,求随机变量X的分布列和期望值.

【答案】
(1)解:∵频率分布直方图前三段的频率成等比数列,

∴由频率分布直方图,得:(10b)2=0.05×0.20,解得b=0.010,

∴a=0.1﹣0.005﹣0.010﹣0.020﹣0.025﹣0.010=0.030.


(2)解:成绩不低于80分的人数估计为:640×(0.025+0.010)×10=224.
(3)解:样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2,

成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4,

X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=0)= =

P(X=1)= =

P(X=2)= =

∴X的分布列为:

X

0

1

2

P

∴E(X)= =


【解析】(1)由等比数列性质及频率分布直方图,列出方程,能求出a.(2)利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数.(3)样本中成绩在[40,50)内的人数为2,成绩在[90,100]内的人数为4,X的所有可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列,需要了解在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列才能得出正确答案.

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