题目内容
【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tanC=8S,且sinAcosB=2cosAsinB,则cosA= .
【答案】
【解析】解:∵(a2+b2)tanC=8S,可得:(a2+b2) =4absinC, ∵C∈(0,π),sinC≠0,
∴a2+b2=4abcosC=4ab =2(a2+b2﹣c2),整理可得:a2+b2=2c2 , ①
又∵sinAcosB=2cosAsinB,
∴a =2b
,整理可得:b2﹣a2=﹣
,②
∴联立①②解得:a2= c2 , b2=
c2 ,
∴cosA= =
=
.
故答案为: .
由已知利用同角三角函数基本关系式,三角形面积公式,余弦定理化简可得:a2+b2=2c2 , 利用余弦定理,正弦定理化简sinAcosB=2cosAsinB可得:b2﹣a2=﹣ ,联立解得a2=
c2 , b2=
c2 , 进而利用余弦定理即可解得cosA的值.

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