Question

【题目】给定空间不共面的个点．试问：是否一定存在这样一个平面，仅过这个点的其中三个？并请证明你的结论．

Answer 1

【答案】当时，这样的平面一定存在，而时，这样的平面不一定存在．

【解析】

当时，这样的平面一定存在，而时，这样的平面不一定存在．

证明：当时，若其中有三点共线，则这样的平面显然存在；

若这个点中有四点共线，则．当时，另两点所成直线必与这四点确定的直线异面．易知这样的平面存在．时，这样的平面也存在．

若这个点中有五个点共线时，则必有，同上可知这样的平面存在．

若这个点中无三个或三个以上的点共线，从中任取三点、、，

则由这个点不共面知在剩下的点中必存在点，使点不在面上．

依次连结这四点，得四面体，这个四面体确定四个面．

由知，剩下的点的个数不大于3．故在这四面体的四个面中至少有一个面，它除了已给的、、、中的三点外，再无其他的点，即存在面仅过其中三个点．

当时，若将这个点分布在两条异面直线上，且每条直线上的点个数不少于4，易知此时不存在这样的平面，它仅过其中三点．因为从这个点中任取三点，必有某两点在同一直线上，而该直线上的其他点也位于该三点确定的平面上．