Question

11．设函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx+a}{x}$，（a＞0，b∈R）
（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（$\frac{1}{x}$）；
（2）若函数y=f（x），x∈[$\frac{1}{2}$，2]的值域为[5，6]，求f（x）；
（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2^x）-k（k∈R）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）把f（x）中的x换上$\frac{1}{x}$便可求出$f（\frac{1}{x}）$，整理之后便可得出f（x）=$f（\frac{1}{x}）$；
（2）将f（x）变成$f（x）=a（x+\frac{1}{x}）+b$，求导数，判断导数符号：x∈[$\frac{1}{2}，1$）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（$\frac{1}{2}$）=f（2）=6，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{\frac{5a}{2}+b=6}\end{array}\right.$，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=$2（x+\frac{1}{x}）+1$；
（3）先求出g（x）=2（2^x+2^-x）+1-k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g（x）最小值为5-k，这样讨论5-k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．

解答 解：（1）证明：$f（\frac{1}{x}）=\frac{a•\frac{1}{{x}^{2}}+b•\frac{1}{x}+a}{\frac{1}{x}}=\frac{a{x}^{2}+bx+a}{x}=f（x）$；
∴$f（x）=f（\frac{1}{x}）$；
（2）$f（x）=a（x+\frac{1}{x}）+b$，$f′（x）=\frac{a（{x}^{2}-1）}{{x}^{2}}$；
∵$x∈[\frac{1}{2}，2]$，a＞0；
∴$x∈[\frac{1}{2}，1）$时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；
∴f（$\frac{1}{2}$）=6，或f（2）=6；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{\frac{5a}{2}+b=6}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
∴$f（x）=2（x+\frac{1}{x}）+1$；
（3）g（x）=2（2^x+2^-x）+1-k；
y=2^x为增函数；
∴由（2）知，2^x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；
∴x=0时，g（x）取到最小值5-k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；
∴①5-k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；
②5-k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；
③5-k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．

点评 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．