题目内容

10.设函数f(x)=(2-t)•2x+(t-3),其中t为常数,且t∈R.
(1)求f(0)的值;
(2)求函数g(x)=$\frac{f(x)}{{4}^{x}}$在区间[0,1]上的最小值.

分析 (1)运用代入法,计算即可得到f(0);
(2)化简g(x),设m=2-x,由x∈[0,1],可得m∈[$\frac{1}{2}$,1],则h(m)=(t-3)m2+(2-t)m,对t讨论,求出对称轴与区间的关系,结合单调性,即可得到最小值.

解答 解:(1)函数f(x)=(2-t)•2x+(t-3),
即有f(0)=(2-t)•20+t-3=-1;
(2)g(x)=$\frac{f(x)}{{4}^{x}}$=$\frac{2-t}{{2}^{x}}$+$\frac{t-3}{{4}^{x}}$,
设m=2-x,由x∈[0,1],可得m∈[$\frac{1}{2}$,1],
则h(m)=(t-3)m2+(2-t)m
当t=3,则h(m)=-m的最小值为-1;
当t>3时,①当t>4时,对称轴$\frac{t-2}{2(t-3)}$∈[$\frac{1}{2}$,1],
最小值为-$\frac{(2-t)^{2}}{4(t-3)}$;
②当3<t≤4时,区间[$\frac{1}{2}$,1]为减区间,
即有最小值为h(1)=-1;
当t<3时,对称轴m=$\frac{t-2}{2(t-3)}$<$\frac{1}{2}$,在[$\frac{1}{2}$,1]递减,
即有最小值为h(1)=-1.
综上可得,当t≤4时,函数g(x)的最小值为-1;
当t>4时,最小值为-$\frac{(2-t)^{2}}{4(t-3)}$.

点评 本题考查函数的最值的求法,注意讨论对称轴和区间的关系,以及函数的单调性的运用,属于中档题.

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