题目内容

【题目】已知点,圆.

1)若直线过点且到圆心的距离为,求直线的方程;

2)设过点的直线与圆交于两点(的斜率为负),当时,求以线段为直径的圆的方程.

【答案】1)直线的方程为;(2.

【解析】

1)根据点到直线的距离公式解得;

2)先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线的斜率,设点,联立直线与圆的方程,消元列出韦达定理,可得的中点坐标即圆心坐标,从而得到圆的方程;

解:(1)由题意知,圆的标准方程为圆心,半径

①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即

则圆心到直线的距离为.

直线的方程为

②当直线的斜率不存在时,直线的方程为

此时圆心到直线的距离为2,符合题意.

综上所述,直线的方程为

2)依题意可设直线的方程为,即

则圆心到直线的距离

,解得

直线的方程为

设点,联立直线与圆的方程得

消去

则线段的中点的横坐标为,把代入直线中得

所以,线段的中点的坐标为

由题意知,所求圆的半径为:

以线段为直径的圆的方程为:.

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