题目内容
【题目】已知函数,且函数
的图象在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值,并求函数
的最值;
(2)当时,求证:
.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由,可求得b=1,代入函数得
,所以分
0和
0讨论单调性,再求得函数最值。(2)构造函数
,只需证
在R上恒成立,显然
时,
符合,当
时,
,导函数零点
,由单调可知
下证
,在区间
上恒成立。
试题解析:(1)由题得,,
根据题意,得,∴
,
∴.
当时,
,
在
上单调递减,
没有最值;
当时,令
,得
,令
,得
,
∴在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
∴在
处取得唯一的极大值,即为最大值,且
.
综上所述,当时,
没有最值;
当时,
的最大值为
,无最小值.
(2)要证,即证
,
令,
当时,
,∴
成立;
当时,
,
当时,
;当
时,
,
∴在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴.
∵,
∴,
,
∴,即
成立,
故原不等式成立.
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