Question

5．已知函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+x-m+\frac{m}{x}（m＞0）$是[1，∞]上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（　　）

• A． （0，-3）
• B． （0，3）
• C． （0，-2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．

解答 解：由$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+x-m+\frac{m}{x}（m＞0）$得g′（x）=x²+1-$\frac{m}{{x}^{2}}$．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x²+1-$\frac{m}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
设x²=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+1-$\frac{m}{t}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
设y=t+1-$\frac{m}{t}$，t∈[1，+∞），
∵y′=1+$\frac{m}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数y=t+1-$\frac{m}{t}$在[1，+∞）上单调递增，因此y_min=2-m．
∵y_min≥0，∴2-m≥0，即m≤2．又m＞0，故0＜m≤2．m的最大值为2．
故得g（x）=$\frac{1}{3}$x³+x-2+$\frac{2}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
将函数g（x）的图象向上平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x+$\frac{2}{x}$，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（-x）=-φ（x），
∴φ（x）为奇函数，
故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，-2）成中心对称．
这表明存在点Q（0，-2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故选：C．

点评 本题主要考查函数性质的考查，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，结合函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．