题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数).
(1)求函数的值域;
(2)若不等式对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)先对函数求导,判断出函数单调性,进而可得出值域;
(2)先由题意,将问题转化为对任意
恒成立,构造函数
,对函数
求导,用导数方法判断其单调性,求其最小值,即可得出结果.
(3)令,对函数
求导,用导数方法研究其单调性,求其最小值,只需最小值大于0即可.
(1)因为,
所以,
∵,∴
,
∴,所以
,
故函数在
上单调递减,函数
的最大值为
;
的最小值为
,
所以函数的值域为
.
(2)原不等式可化为 …(*),
因为恒成立,故(*)式可化为
.
令,则
,
当时,
,所以函数
在
上单调递增,故
,所以
;
当时,令
,得
,
所以当时,
;当
时,
.
所以当,即
时,函数
成立;
当,即
时,函数
在
上单调递减,
,解得
综上,.
(3)令,则
.
由,故存在
,使得
,
即 .
所以,当时,
;当
时,
.
故当时,函数
有极小值,且是唯一的极小值,
故函数
,
因为,所以
,
故,
即.
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