Question

甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

（1）y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）为使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c时，行驶速度v=c

【错解分析】（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函数及定义域为y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）由题意s,a,b,v均为正数，故s(+bv)≥2s （当且仅当=bv时，即 v=时，等号成立）∴v=时，全程运输成本最小。
此解（2）中，结论成立的条件是v=，但速度能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。
【正解】（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函数及定义域为y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）应分以下两种情况讨论：
①若≤c,则当v=时，全程运输成本最小。
②若＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，
因此，当v=c时，全程运输成本最小。
事实上，s(+bv)- s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0且a＞bc²∴a-bcv≥a-bc²＞0
∴s(+bv)≥s(+bc) （当且仅当v=c时，等号成立）
综上所述，为使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c时，行驶速度v=c。
【点评】在应用均值不等式解题时，一定要注意它的三个前提条件缺一不可，即“一正、二定、三相等”。