Question

6．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）在（0，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
（3）利用函数的单调性，奇偶性求出函数分别在（0，+∞），（-∞，0）上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，分母不为0，列出不等式求出函数的定义域；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）在（0，2]上为减函数，在（2，+∞）上是增函数即可；
（3）根据f（x）在（0，2]上为减函数，在（2，+∞）上是增函数，求出f（x）在区间（0，+∞）的最小值；再由函数f（x）的奇偶性，求出f（x）在区间（-∞，0）上的最大值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
∴x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-4）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，2]上为减函数；
同理，f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上是增函数；
（3）∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，2]上为减函数，在（2，+∞）上是增函数；
∴f（x）在区间（0，+∞）上存在最小值为f（x）_min=f（2）=2+2=4；
又函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$是定义域上的奇函数，图象关于原点对称，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上存在最大值为f（x）_max=f（-2）=-2+$\frac{4}{-2}$=-4．

点评 本题考查了求函数的定义域以及利用函数的单调性定义证明单调性问题，也考查了求函数最值的应用问题，是中档题目．