Question

2．F₁、F2分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆上的点到F₂的最近距离为4，最远距离为16．
（1）求椭圆的方程；
（2）P为该椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c，最大值为a+c解方程可得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）利用椭圆的定义与余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，再利用正弦定理即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由题意可得a-c=4，a+c=16，
解方程可得a=10，c=6，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=8，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1；
（2）由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=2c=12，
又∠F₁PF₂=60°，
∴由余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和简单性质，着重考查椭圆的定义及余弦定理、面积公式的应用，属于中档题．