Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；

﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，

∴﹣ ＜x＜ ；

x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，

综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣ ＜x＜ }

（2）解：a=0时，不等式成立，

a≠0时，|f（x）|≥||1﹣ |﹣|1+ ||

∵||1﹣ |﹣|1+ ||＜2，

∴|f（x）|≥2，

x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；

﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；

x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，

综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}

【解析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．