题目内容
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。
（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。
（2）
求证：EF⊥平面PCD。
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。
（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。
（2）
求证：EF⊥平面PCD。解：（1）如图，连结AC
过点F作FO⊥AC，
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥AC，垂足为O，
连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中，OF
PA=1，
OB=
，则tanBFO=
………………6分
（2）连结OE、CE、PE。
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE…………………………10分
∴又F为PC的中点，
∴EF⊥PC。
故EF⊥平面PCD。……………………12分
过点F作FO⊥AC，
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥AC，垂足为O，
连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中，OF
PA=1，OB=
，则tanBFO=………………6分（2）连结OE、CE、PE。
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE…………………………10分
∴又F为PC的中点，
∴EF⊥PC。故EF⊥平面PCD。……………………12分
略
练习册系列答案
相关题目
中，底面
是直角梯形，
上是否存一点
，使得
与平面
与平面
都平行？证明你的结论．
分别是平面
的法向量，则平面
，AA1＝3，点D是AB的中点．
的大小．
中，
平面
，
，
，
，
；
到平面
的距离
平面
又
平面
（4分）
，
，
，
即点
（8分）
方形
的边
、
的中点，沿SE、SF、EF将它折成一个几何体，使
、D、
重合，记作D，给出下列位
置关系：
面EFD；②SE
中，直线
和直线
所成的角的大小为（ ）.
中E是AB的中点，O是侧面
的中心．
，那么必有（ ）
