Question

【题目】已知函数．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数在处取得极值，得到，即可求解的值；

（2）由（1）得，定义域为，分，和三种情况讨论，分别求得函数的最小值，即可得到结论；

（3）由，得到，把，只需证，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由，定义域为，则，

因为函数在处取得极值，

所以，即，解得，

经检验，满足题意，所以.

(2)由（1）得，定义域为，

当时，有，在区间上单调递增，最小值为，

当时，由得，且，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在区间上单调递增，最小值为，

当时，则，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在处取得最小值，

综上可得：

当时，在区间上的最小值为1，

当时，在区间上的最小值为.

（3）由得，

当时，，则，

欲证，只需证，即证，即，

设，则，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，即，

故， 即当时，恒有成立.