题目内容
函数f（x）=
x2-2tx+3lnx，g（x）=
，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值（0＜a＜b），g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大
，若方程f（x）=m有3个不同的解，则函数y=em+
的值域为
| 1 |
| 2 |
| x+t |
| x2+3 |
| 1 |
| 3 |
| 15 |
| 2 |
（27，e4）．
（27，e4）．
．分析：由f′（x）=0解得x=t±
，从而可得a，b，由g′（x）=0，得x=-t±
，根据其与-b，-a的大小关系可判断g（x）在[-b，-a]上的单调性，从而可求得g（x）的最大值、最小值，根据题意可得关于t的方程，解出t，再根据方程f（x）=m有3个不同的解可得m的范围，由此可求值域．
| t2-3 |
| t2+3 |
解答：解：f′（x）=-x-2t+
=
，
令f′（x）=0解得x=t±
，
由题意知a=t-
，b=t+
，由a＞0知t＞0，
g′（x）=-
，令g′（x）=0，得x=-t±
，
[-b，-a]=[-t-
，-t+
]，且-t-
＜-t-
，-t+
＞-t+
，
可知g′（x）＞0在[-t-
，-t+
]上成立，从而g（x）在[-t-
，-t+
]上递增，
g(x)max=g(-t+
)=
，g(x)min=
，
由题意得，
-
=
，解得t=2或-2（舍），
f′（x）=
=
，
令f′（x）＞0得x＜1或x＞3；令f′（x）＜0得1＜x＜3，
f（x）极小值为f（3）=-
+3ln3，f（x）极大值为f（1）=-
，
因为方程f（x）=m有3个不同的解，所以-
+3ln3＜m＜-
，
e-
+3ln3+
＜em+
＜e-
+
，即27＜em+
＜e4，
所以函数y=em+
的值域为（27，e4）．
故答案为：（27，e4）．
| 3 |
| x |
| x2-2tx+3 |
| x |
令f′（x）=0解得x=t±
| t2-3 |
由题意知a=t-
| t2-3 |
| t2-3 |
g′（x）=-
| x2+2tx-3 |
| (x2+3)2 |
| t2+3 |
[-b，-a]=[-t-
| t2-3 |
| t2-3 |
| t2+3 |
| t2-3 |
| t2+3 |
| t2-3 |
可知g′（x）＞0在[-t-
| t2-3 |
| t2-3 |
| t2-3 |
| t2-3 |
g(x)max=g(-t+
| t2-3 |
| ||
2t(t-
|
-
| ||
2t(t+
|
由题意得，
| ||
2t(t-
|
-
| ||
2t(t+
|
| 1 |
| 3 |
f′（x）=
| x2-4x+3 |
| x |
| (x-3)(x-1) |
| x |
令f′（x）＞0得x＜1或x＞3；令f′（x）＜0得1＜x＜3，
f（x）极小值为f（3）=-
| 15 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
因为方程f（x）=m有3个不同的解，所以-
| 15 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
e-
| 15 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
所以函数y=em+
| 15 |
| 2 |
故答案为：（27，e4）．
点评：本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查转化思想，运算量大，综合性强，对能力要求高．
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