Question

18．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知{a_n}的公差为d，且a₁=$\frac{3}{2}$d＞0，证明：存在正常数c，使$\sqrt{{S}_{n}+c}+\sqrt{{S}_{n+2}+c}=2\sqrt{{S}_{n+1}+c}$对任意自然数n都成立．

Answer 1

分析 先取n=1，确定c=$\frac{1}{2}$d．再证明当c=$\frac{1}{2}$d时，$\sqrt{{S}_{n}+c}+\sqrt{{S}_{n+2}+c}=2\sqrt{{S}_{n+1}+c}$恒成立．

解答 证明：假设存在正常数c使得$\sqrt{{S}_{n}+c}+\sqrt{{S}_{n+2}+c}=2\sqrt{{S}_{n+1}+c}$恒成立．
∵a₁=$\frac{3}{2}$d，
∴S_n=$\frac{1}{2}$dn²+dn  
令n=1，则有$\sqrt{\frac{3}{2}d+c}$+$\sqrt{\frac{15}{2}d+c}$=2$\sqrt{4d+c}$恒成立两边平方化简得：c=$\frac{1}{2}$d．
以下证明当c=$\frac{1}{2}$d时，$\sqrt{{S}_{n}+c}+\sqrt{{S}_{n+2}+c}=2\sqrt{{S}_{n+1}+c}$恒成立．
$\sqrt{{S}_{n}+c}$+$\sqrt{{S}_{n+2}+c}$-2$\sqrt{{S}_{n+1}+c}$=（n+1）$\sqrt{\frac{d}{2}}$+（n+3）$\sqrt{\frac{d}{2}}$-2（n+2）$\sqrt{\frac{d}{2}}$=0
∴存在正常数c=$\frac{1}{2}$d使$\sqrt{{S}_{n}+c}+\sqrt{{S}_{n+2}+c}=2\sqrt{{S}_{n+1}+c}$恒成立．

点评 本题考查等差数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，确定c=$\frac{1}{2}$d是关键．