题目内容
如图正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
分析：（1）连结AC交BD于O点，连结OM，可得OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM，利用线面平行判定定理，即可证出PA∥平面MBD；
（2）取AB的中点N，连结PN、CN，正方形ABCD中利用三角形全等，证出CN⊥BQ．利用面面垂直的性质定理，证出等边△PAD的高PQ⊥底面ABCD，从而得出CN⊥PQ，根据线面垂直的判定证出CN⊥平面PQB，从而得到平面PCN⊥平面PQB．由此可得在线段AB上存在AB的中点N，使得平面PCN⊥平面PQB．
（2）取AB的中点N，连结PN、CN，正方形ABCD中利用三角形全等，证出CN⊥BQ．利用面面垂直的性质定理，证出等边△PAD的高PQ⊥底面ABCD，从而得出CN⊥PQ，根据线面垂直的判定证出CN⊥平面PQB，从而得到平面PCN⊥平面PQB．由此可得在线段AB上存在AB的中点N，使得平面PCN⊥平面PQB．
解答：解：（1）连结AC交BD于O点，连结OM
∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点
因此OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM
∵PA?平面MBD，OM?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（2）取AB的中点N，连结PN、CN
∵正方形ABCD中，Q、N分别为AD、AB的中点
∴Rt△ABQ≌△BCN，可得CN⊥BQ
∵等边△PAD中，Q是AD中点，∴PQ⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
∵CN?底面ABCD，∴CN⊥PQ
∵BQ、PQ是平面PQB内的相交直线，∴CN⊥平面PQB
∵CN?平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB
即在线段AB上存在AB的中点N，使得平面PCN⊥平面PQB．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点
因此OM是△PAC的中位线，可得PA∥OM
∵PA?平面MBD，OM?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（2）取AB的中点N，连结PN、CN
∵正方形ABCD中，Q、N分别为AD、AB的中点
∴Rt△ABQ≌△BCN，可得CN⊥BQ
∵等边△PAD中，Q是AD中点，∴PQ⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
∵CN?底面ABCD，∴CN⊥PQ
∵BQ、PQ是平面PQB内的相交直线，∴CN⊥平面PQB
∵CN?平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB
即在线段AB上存在AB的中点N，使得平面PCN⊥平面PQB．
点评：本题在四棱锥中证明线面平行、并探索面面垂直的存在性．着重考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质和线面平行判定定理等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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