Question

（本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；

（2）当∥时，定点平分线段

Answer 1

（1）（2）略

解析:

：设、、. 则椭圆过点、的切线方程分别为

，（3分）因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线   ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程.………（6分）

（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为

代入①消去得  ②对一切恒成立. ……（9分）

变形可得对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（12分）

（2）当∥时，由式②知 解得

代入②，得此时的方程为  ③

将此方程与椭圆方程联立，消去得……（15分）

由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即

这就是说，点平分线段.……（18分）