题目内容

(本小题满分18分)已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N*?），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数列；若数列｛cn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是二阶等差数列?(1)试写出满足条件a１＝１,b1=1，cn=1（n∈N*?）的二阶等差数列｛an｝的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛an｝的通项公式an；(3)若数列｛an｝首项a１＝２，且满足cn-bn+1+3an＝-2n+1（n∈N*?），求数列｛an｝的通项公式

（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（2）an＝(n2-n+2)/2  （3）an=4n-2n


解析:

（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11-----4分

（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…

所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1=n   ---6分

又an+1-an=bn＝n，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-1-an-2）＋（an-2-an-3）＋…+（a2-a1）＋a１

=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2  --10分

（3）由已知cn-bn+1＋３an= -2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1． -12分

解法一：整理得：an+1＋２n+1=4（an+2n），-------15分

因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，

∴an+2n＝4·4n-1＝４n，即an=4n-2n．（18分）

解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/２n+1=2·an/2n＋１．----15分

令kn=an/2n，则kn+1＝２kn+1，即kn+1＋１＝２（kn+1）

故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝２n，即kn=2n-1．

∴an=2nkn=2n（２n-1）=4n-2n． -------18分

解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）

猜想：an=2n（2n-1）＝４n-2n． ------15分

下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；

（ii）假设n=k时，猜想成立，即ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝４ak+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1=4 k+1-2 k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n．----18分

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（本小题满分18分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）与的关系式；

（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

（本小题满分18分）知函数的图象的一部分如下图所示。

（1）求函数的解析式；

（2

 

(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

（文）已知数列中，

（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.

 

 

本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设函数是定义域为R的奇函数．

（1）求k值；

（2）（文）当时，试判断函数单调性并求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

（理）若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；

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