Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量 =（a+c，sinB）， =（b﹣c，sinA﹣sinC），且 ∥ ． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，现将y=f（x）的图象上各点向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若向量 =（a+c，sinB）， =（b﹣c，sinA﹣sinC），且 ∥ ，
则（a+c）（sinA﹣sinC）﹣sinB（b﹣c）=0，即（a+c）（a﹣c）=b（b﹣c），
即 b2+c2﹣a2=bc，∴cosA= = ，∴A= ．
（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0）= sin2ωx﹣ cos2ωx=sin（2ωx﹣ ），
已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为 = = ，∴ω=1，
现将y=f（x）=sin（2x﹣ ）的图象上各点向左平移 个单位，
可得 y=sin（2x+ ）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，
得到函数y=g（x）=sin（x+ ） 的图象，
在[0，π]上，x+ ∈[ ， ]，g（x）=sin（x+ ）∈[﹣ ，1]，
即g（x）在[0，π]上的值域为[﹣ ，1]．
【解析】（Ⅰ）利用两个向量共线的性质求得 b2+c2﹣a2=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．