题目内容
【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , O为坐标原点,点P(1,
)在椭圆上,连接PF1交y轴于点Q,点Q满足
=
.直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C有两个交点A,B. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点M( ,0),若直线l过椭圆C的右焦点F2 , 证明:
为定值;
(Ⅲ)若直线l过点(0,2),设N为椭圆C上一点,且满足 +
=λ
,求实数λ的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由 =
,则Q为PF1的中点,则PF1⊥F1F2 , 则c=1,
=
,a2=b2﹣c2 ,
解得:a= ,b=1,
∴椭圆的标准方程: ;
(Ⅱ)证明:由题意可知:设直线l的方程y=k(x﹣1),k≠1,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),
∴ ,整理得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
则x1+x2= ,x1x2=
,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2x1x2﹣k2(x1+x2)+k2 ,
由 =(x1﹣
,y1),
=(x2﹣
,y2),
则
=(x1﹣
,y1)(x2﹣
,y2)=(1+k2)x1x2﹣(k2+
)(x1+x2)+
+k2 ,
=(1+k2)× ﹣(k2+
)×
+
+k2 ,
= +
,
=﹣ ,
∴
为定值,定值为﹣
;
(Ⅲ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),Q(x0 , y0).
当λ=0时,由 +
=λ
,
+
=
,A与B关于原点对称,存在Q满足题意,
∴λ=0成立;
当λ≠0时,联立 ,得(1+2k2)x2+8kx+6=0,
由△=(8k)2﹣4×6(1+2k2)>0,解得k2> ,…(*),
∴x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
y1+y2=k(x1+x2)+4= .
由 +
=λ
,得(x1+x2 , y1+y2)=(λx0 , λy0),可得x1+x2=λx0 , y1+y2=λy0 ,
,由Q在椭圆
上,
代入,整理得4= (1+2k2),
代入(*)式,得λ2<4,解得﹣2<λ<2且λ≠0.
综上可知:λ∈(﹣2,2).
【解析】(Ⅰ)由题意可知:c=1, =
,a2=b2﹣c2 , 即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)设直线AB的方程,代入椭圆方程,由韦达定理定理及向量数量积的坐标运算,即可求证
为定值;(Ⅲ)分类讨论,设直线AB的方程,代入椭圆方程,由△>0,求得k2>
,由韦达定理,向量数量积的坐标运算,即可求得4=
(1+2k2),即可求得实数λ的取值范围.
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案,需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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