Question

【题目】如图，是正方形的对角线，弧的圆心是，半径为，正方形以为轴旋转，求图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比.

Answer 1

【答案】.

【解析】分析：设正方形ABCD的边长为1，可得图Ⅰ旋转所得圆锥的体积为V1=π．图II旋转所得旋转体是半球与图Ⅰ旋转所得圆锥的差，因此它的体积V2=V半球﹣V1=π．图III旋转所得旋转体是圆柱与半球的差，因此它的体积V3=V圆柱﹣V半球=π，由此即可得到三部分旋转所得旋转体的体积之比．

详解：

设正方形ABCD的边长为1，可得

图Ⅰ旋转所得旋转体为以AB为轴的圆锥体，高AB=1且底面半径r=1

∴该圆锥的体积为V1=π×AD2×AB=π；

图II旋转所得旋转体，是以AB为半径的一个半球，减去图Ⅰ旋转所得圆锥体而形成，

∴该圆锥的体积为V2=×π×AB2﹣V1=π﹣π=π；

图III旋转所得旋转体，是以AB为轴的圆柱体，减去图II旋转所得半球而形成，

∴该圆锥的体积为V3=π×AD2×AB﹣V半球=π﹣π=π

综上所述V1=V2=V3=π，

由此可得图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．