Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求证：有且只有两个零点

（2）有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出的定义域.求出，判断的单调性.根据零点存在定理可得在区间和上各有一个零点，结合的单调性，可证有且只有两个零点；

（2）定义域为.不等式恒成立，等价转化为.求出，故有两个极值点，， 即方程有两不等实根，根据韦达定理可得，，故.

令，求出，判断的单调性，可求实数m的取值范围.

（1）证明：当时，函数，定义域为.

.

令，得；令，得.

在上是减函数，在上是增函数.

又，

在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点.

同理，

在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点，

有且只有两个零点.

（2）定义域为，

.

有两个极值点，，

有两不等实根，

∴，且，.

又，，.

由不等式恒成立，得

恒成立.

令，

当时,恒成立，

在上单调递减，∴，

.

故实数m的取值范围是.