题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点的坐标为
,且长轴长为短轴长的
倍.椭圆
的上、下顶点分别为
,经过点
的直线
与椭圆相交于
两点(不同于
两点).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线,求点
的坐标;
(3)设直线相交于点
,求证:
是定值.
【答案】(1)(2)
的坐标为
或
.(3)见解析
【解析】
(1)根据题意,可得,
,
,求出
,
,即可求得椭圆
的方程;
(2)由(1)得出点B的坐标为,设点
,根据
,得出
,与椭圆方程
联立,即可求出点
的坐标;
(3)设,
,则直线
的方程为
,与椭圆方程
联立,得到关于
的一元二次方程,写出韦达定理
,
,分别求出直线
和直线
的方程,从而求得
和
的关系式,化简整理得出
,即
为定值.
解:(1)根据题意,已知椭圆右焦点的坐标为,且长轴长为短轴长的
倍,
得,
,
,
解得:,
,
所以椭圆的方程为:
.
(2)由题意得,点的坐标为
,设点
,
由于经过点的直线
与椭圆相交于
两点,
已知,则
,所以
,
因为,
,
则
整理得:,
又,解得:
或
或
(舍去),
所以所求点的坐标为
或
.
(3)由于经过点的直线
与椭圆相交于
两点(不同于
两点),
设直线的斜率为
,可知斜率
存在,则直线
的方程为
,
由题可知,,设
,
,
由方程组,得
,
所以,
,
由于直线相交于点
,
直线的方程为
,得
,
直线BM的方程为,得
,
所以,
因为,
得,
所以为定值1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】国家统计局进行第四次经济普查,某调查机构从15个发达地区,10个欠发达地区,5个贫困地区中选取6个作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区.普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:
普查对象类别 | 顺利 | 不顺利 | 合计 |
企事业单位 | 40 | 10 | 50 |
个体经营户 | 90 | 60 | 150 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)写出选择6个国家综合试点地区采用的抽样方法;
(2)根据列联表判断是否有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”,分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.
附:参考公式: ,其中
参考数据:
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |