题目内容

4.求下列函数的值域.
(1)y=$\sqrt{x}$+1;
(2)y=2x+4$\sqrt{1-x}$;
(3)y=$\frac{2x}{3x-4}$;
(4)y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$;
(5)y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-x+2}$;
(6)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x},0<x<1}\\{x,x≥1}\end{array}\right.$;
(7)y=|x+1|+|x-2|.

分析 (1)直接由函数的单调性求函数的值域;
(2)利用换元法求函数的值域;
(3)把函数解析式变形,借助于反比例函数的值域求得答案;
(4)(5)利用判别式法求函数的值域;
(6)由题意画出图形,数形结合得答案;
(7)由绝对值的几何意义求得函数值域.

解答 解:(1)函数y=$\sqrt{x}$+1的定义域为[0,+∞),又函数为增函数,∴其值域为[1,+∞);
(2)令$\sqrt{1-x}=t(t≥0)$,则x=1-t2,∴y=2x+4$\sqrt{1-x}$可化为g(t)=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4≤4,
∴函数y=2x+4$\sqrt{1-x}$的值域为(-∞,4];
(3)由y=$\frac{2x}{3x-4}$=$\frac{\frac{2}{3}(3x-4)+\frac{8}{3}}{3x-4}=\frac{8}{3(3x-4)}+\frac{2}{3}$,
∵$\frac{8}{3(3x-4)}≠0$,∴y$≠\frac{2}{3}$,即y=$\frac{2x}{3x-4}$的值域为($-∞,\frac{2}{3}$)∪($\frac{2}{3},+∞$);
(4)由y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$,得(y-1)x2-(3y+4)x+2y+5=0.
当y=1时,方程化为7x=7,x=1;
当y≠1时,由△=[-(3y+4)]2-4(y-1)(2y+5)≥0,得(y+6)2≥0,∴y≠1.
综上,函数y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-3x+2}$的值域为R;
(5)由y=$\frac{x^2+4x-5}{x^2-x+2}$,得(y-1)x2-(y+4)x+2y+5=0.
当y=1时,方程化为5x=7,即x=$\frac{7}{5}$;
当y≠1时,由△=(y+4)2-4(y-1)(2y+5)≥0,解得:$-\frac{18}{7}≤y≤2$且y≠1.
综上,函数y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x},0<x<1}\\{x,x≥1}\end{array}\right.$的值域为[$-\frac{18}{7},2$];
(6)函数y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x},0<x<1}\\{x,x≥1}\end{array}\right.$的图象如图:

∴函数y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x},0<x<1}\\{x,x≥1}\end{array}\right.$的值域为[1,+∞);
(7)由绝对值的几何意义可知,y=|x+1|+|x-2|为数轴上的动点x到两定点-1、2的距离和,
∴函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为3,即y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞).

点评 本题考查函数的值域及其求法,训练了利用换元法和判别式法求函数的值域,是中档题.

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