Question

16．已知集合A={y|y=2^x+2，x∈[-1，2]}，B={x|y=lg[（x-m）²-9]}．
（1）若m=3，求（∁_RA）∩（∁_RB）；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求解函数的值域和定义域化简集合A，B．
（1）把m=3代入集合B，然后利用补集与交集运算得答案；
（2）由A∩B=∅，得$\left\{\begin{array}{l}{m-3≤\frac{5}{2}}\\{m+3≥6}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：A={y|y=2^x+2，x∈[-1，2]}=[$\frac{5}{2}，6$]，
由（x-m）²-9＞0，得x＜m-3或x＞m+3．
∴B={x|y=lg[（x-m）²-9]}=（-∞，m-3）∪（m+3，+∞）．
（1）若m=3，则B=（-∞，0）∪（6，+∞）．
∁_RA=（$-∞，\frac{5}{2}$）∪（6，+∞），∁_RB=[0，6]．
∴（∁_RA）∩（∁_RB）=[0，$\frac{5}{2}$）；
（2）若A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{m-3≤\frac{5}{2}}\\{m+3≥6}\end{array}\right.$，解得：3$≤m≤\frac{11}{2}$．

点评 本题考查交、并、补集的运算，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．