Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．
下列选项正确的是（　　）

• A、①
• B、②
• C、①③
• D、②③

Answer 1

分析：对于①，若取f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），都满足，且有无数个，故错；
对于②，即x=

3

2

时，②错；
对于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故错．
抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想．

解答：解：对于①，若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），
就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确、
对于②，∵当x=

3

2

时，g(

3

2

)=3，f(

3

2

)=2

2

=

8

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一个承托函数，故错误；
对于③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；
故选A．

点评：本题是以抽象函数为依托，考查学生的创新能力，属于较难题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．