题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点
是
的中点.
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求平面
与
所成二面角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以
为单位正交基底建系，找出
与
的坐标，用向量法来求解异面直线
与
所成角；
（2）由（1）中建系可知，平面
的一个法向量为
，再设出平面
的法向量
，则
与平面内的两个不共线向量乘积为0，从而求得，再来求出两个法向量夹角余弦值，进而通过三角函数平方和为1，求得两个平面夹角的正弦值.
（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系
，
则由题意知
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
（2） 是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
∵
，
∴
，取
，得
，
，
∴平面的法向量为
，
设平面与所成二面角为
，
∴
，
∴sinθ
.
∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.
【题目】某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数
（万人）与年份
的数据：
第 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人数 | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程
．（
精确到个位，
精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 | ① | ② |
| 30407 | 14607 |
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
．②刻画回归效果的相关指数
；③参考数据：
，
．
|
|
|
|
|
|
5．5 | 449 | 6．05 | 83 | 4195 | 9．00 |
表中
．
