题目内容
【题目】已知.
(1)若,求方程
的解;
(2)若关于x的方程在(0,2)上有两个解
,求k的取值范围,并证明
.
【答案】(1)或
;(2)k的取值范围为
,证明见解析。
【解析】
(1)当k=2时,f(x)=|x2﹣1|+x2+2x=0,下面分两种情况讨论:①当x2﹣1≥0,②当x2﹣1<0,分别解出方程f(x)=0的解即可;
(2)不妨设0<x1<x2<2,因为,所以f(x)在(0,1]上是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多一个解,结合根的范围求出当
时,方程f(x)=0在(0,2)上有两个解,下面求
的取值范围,先得出则
关于k的函数,再利用函数的单调性求其范围.
(1)当k=2时,,
①当,即x≥1或x≤-1时,
方程化为,解得
,
因为,舍去,所以
;
②当,即-1<x<1时,方程化为2x+1=0,解得:
;
由①②得,当k=2时,方程f(x)=0的解为或
。
(2)不妨设,
因为,
所以f(x)在(0,1]是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多一个解,
若,则
<0,故不符题意,
因此;
由,得
,所以k≤-1;
由,得
,所以
;
故当时,方程f(x)=0在(0,2)上有两个解;
因为,所以
,
,
消去k,得,
即,
因为x2<2,
所以。
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