Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，an+1=

pan+n-1(n为奇数) -an-2n(n为偶数)

．
（Ⅰ）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前n项和T_n；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断c_n是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅲ）当p=

1

2

时，问是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，所以{b_n}成等差数列，故T_n=-2n²-2n（4分）
（Ⅱ）当p=

1

2

时，数列{c_n}成等比数列；当p≠

1

2

时，数列{c_n}不为等比数列
理由如下：因为c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，故当p=

1

2

时，数列c_n是首项为1，公比为-

1

2

等比数列；
当p≠

1

2

时，数列{c_n}不成等比数列（9分）
（Ⅲ）当p=

1

2

时，a2n=cn=(-

1

2

)n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-(-

1

2

)n-1（10分）
因为S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，
∴4n²+4n+16=4ⁿ，设f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
则g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴仅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立（16分）