题目内容
已知数列{an}满足a1=2,前n项和为Sn,an+1=
.
(Ⅰ)若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1(n≥1),试求数列{bn}前n项和Tn;
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=a2n,试判断cn是否为等比数列,并说明理由;
(Ⅲ)当p=
时,问是否存在n∈N*,使得(S2n+1-10)c2n=1,若存在,求出所有的n的值;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1(n≥1),试求数列{bn}前n项和Tn;
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=a2n,试判断cn是否为等比数列,并说明理由;
(Ⅲ)当p=
1 |
2 |
(Ⅰ)据题意得bn=a2n+a2n+1=a2n-a2n-2×2n=-4n,所以{bn}成等差数列,故Tn=-2n2-2n(4分)
(Ⅱ)当p=
时,数列{cn}成等比数列;当p≠
时,数列{cn}不为等比数列
理由如下:因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p(-a2n-4n)+2n=-pcn-4pn+2n,
所以
=-p+
,故当p=
时,数列cn是首项为1,公比为-
等比数列;
当p≠
时,数列{cn}不成等比数列(9分)
(Ⅲ)当p=
时,a2n=cn=(-
)n-1,a2n+1=bn-a2n=-4n-(-
)n-1(10分)
因为S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2(n≥1)(12分)
∵(S2n+1-10)c2n=1,
∴4n2+4n+16=4n,设f(x)=4x-4x2-4x-16(x≥2),
则g(x)=f'(x)=4xln4-8x-4,
∴g'(x)=(ln4)24x-8>0(x≥2),且g(2)=f'(2)>0,
∴f(x)在[2,+∞)递增,且f(3)=0,f(1)≠0,
∴仅存在惟一的n=3使得(S2n+1-10)c2n=1成立(16分)
(Ⅱ)当p=
1 |
2 |
1 |
2 |
理由如下:因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p(-a2n-4n)+2n=-pcn-4pn+2n,
所以
cn+1 |
cn |
2n(1-2p) |
cn |
1 |
2 |
1 |
2 |
当p≠
1 |
2 |
(Ⅲ)当p=
1 |
2 |
时,a2n=cn=(-
1 |
2 |
1 |
2 |
因为S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2(n≥1)(12分)
∵(S2n+1-10)c2n=1,
∴4n2+4n+16=4n,设f(x)=4x-4x2-4x-16(x≥2),
则g(x)=f'(x)=4xln4-8x-4,
∴g'(x)=(ln4)24x-8>0(x≥2),且g(2)=f'(2)>0,
∴f(x)在[2,+∞)递增,且f(3)=0,f(1)≠0,
∴仅存在惟一的n=3使得(S2n+1-10)c2n=1成立(16分)

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