题目内容
【题目】已知椭圆
的左，右焦点分别为
，上顶点为
， 
是斜边长为
的等腰直角三角形,若直线
与椭圆
交于不同两点
.
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）当
时，求线段
的长度；
（Ⅲ）是否存在
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由
是斜边长为
的等腰直角三角形，可得
，即可求出椭圆
的标准方程；（Ⅱ）联立直线
和椭圆的方程，消去
可得
，根据韦达定理和弦长公式可得线段
的长度；（Ⅲ）根据点到直线的距离公式求出
，再根据
，即可求出
的值.
试题解析：（Ⅰ）由题意， 
，且
∴
，则椭圆
的标准方程为
（Ⅱ）把直线
和椭圆的方程联立
，则
当
时，有
， 
， 
∴
（Ⅲ）假设存在
，使得
.
∵
点
到直线
的距离为 
∴
∴
，解得
代入
∴
均符合题意
【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
A1 | 上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
