Question

【题目】某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响．
（I） 求甲考生通过的概率；
（II） 求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；
（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作， 规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．
己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成，
∴甲考生通过的概率P=1﹣ = ．
（Ⅱ）由题意知甲考生正确完成题数X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
∴X的可能取值为：

X	1	2	3
P

EX= +2× +3× = ．
乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，
P（Y=0）= （ ）3= ，
P（Y=1）= = ，
P（Y=2）= = ，
P（Y=3）= = ，
∴Y的分布列是：

Y	0	1	2	3
P

EY= =2．
（Ⅲ）DX=（1﹣2）2× +（2﹣2）2× +（3﹣2）2× = ，
∵Y∽B（3， ），∴DY=3× =
∴DX＜DY，
∵P（X≥2）= ，P（Y≥2）= ≈0.74
∴P（X≥2）＞P（Y≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强
【解析】（Ⅰ）考生甲要通过实验考查，必须正确完成至少2道，利用对立事件概率计算公式能求出甲考生通过的概率．（Ⅱ）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3， ），由此能求出考生乙正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．