Question

20．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax+2（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x（x≥1）}\end{array}\right.$，满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 判断得出f（x）在R上单调递减，根据函数性质得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{2a≥1}\\{3-4a≥0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜0成立，
∴f（x）在R上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{2a≥1}\\{3-4a≥0}\end{array}\right.$
即$\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{4}$
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]

点评 本题综合考查了函数单调性的定义，性质，结合二次函数，对数函数性质，运用不等式求解即可，难度不大，属于中档题．