Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N* ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn= ，求{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵6Sn=（an+1）（an+2），

∴6Sn+1=（an+1+1）（an+1+2），

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，

∵an＞0，

∴an﹣an﹣1=3，

∴{an}为等差数列

∵6S1=（a1+1）（a1+2），

∵a1＞1，

∴a1=2，

∴an=3n﹣1

（2）解：bn= = = （ ﹣ ），

∴{bn}的前n项和为 （ ﹣ ）= （ ﹣ ）

【解析】（1）由6Sn=（an+1）（an+2）得到6Sn+1=（an+1+1）（an+1+2），两式作差，即可证明{an}为等差数列，从而求出an ． （2）由an=3n﹣1，推导出bn= （ ﹣ ），由此利用裂项求和法能求出数列{bn}的前n．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．