Question

20．（1）已知f（$\frac{2}{x}$+1）=lgx，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（3）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）可换元：令$\frac{2}{x}+1=t$，然后解出x，带入原函数即可得出f（t），从而得出f（x）；
（2）f（x）为一次函数，从而可设f（x）=ax+b，这样求出f（x+1），f（x-1），然后带入3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，根据对应项的系数相等便可求出a，b，从而得出f（x）；
（3）可令原式中的x换成-x，这样会又得到一个关于f（x），f（-x）的方程，这两个方程联立解出f（x）即可．

解答 解：（1）设$\frac{2}{x}+1=t$，∴$x=\frac{2}{t-1}$；
∴$f（t）=lg\frac{2}{t-1}$；
∴$f（x）=lg\frac{2}{x-1}$；
（2）设f（x）=ax+b，则：
f（x+1）=a（x+1）+b=ax+a+b，f（x-1）=a（x-1）+b=ax-a+b；
∴带入3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17得，3（ax+a+b）-2（ax-a+b）=2x+17；
整理得：ax+5a+b=2x+17；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=7；
∴f（x）=2x+7；
（3）把式子2f（x）-f（-x）=lg（x+1）中的x换成-x得：2f（-x）-f（x）=lg（1-x）；
两式联立解出f（x）=$\frac{2}{3}lg（x+1）+\frac{1}{3}lg（1-x）$．

点评 考查换元的方法求函数解析式，待定系数求函数解析式的方法，一次函数的一般形式，已知f（x）求f[g（x）]的方法，以及通过解方程组的方法求f（x）解析式．