Question

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C_l的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为

x=tcosα y=tsinα

(t为参数）．
（I）当α=

π

4

时，求曲线C_l与C₂公共点的直角坐标；
（II）若α≠

π

2

，当α变化时，设曲线C₁与C₂的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．

Answer 1

分析：（I）先消去参数将曲线C₁与C₂的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），利用中点坐标公式得M点轨迹的极坐标方程，由极坐标方程即可看出其是什么类型的曲线．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²-2x=0．①
当α=

π

4

时，曲线C₂的普通方程为y=x．②
由①，②得曲线C₁与C₂公共点的直角坐标方程为（0，0），（1，1）．…（4分）
（Ⅱ）C₁是过极点的圆，C₂是过极点的直线．
设M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），则2ρ=2cosθ．…（7分）
故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ（θ≠

π

2

）．
它表示以（

1

2

，0）为圆心，以

1

2

为半径的圆，去掉点（0，0）．…（10分）

点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．