题目内容
选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点D为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线Cl的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的参数方程为
(t为参数).
(I)当α=
时,求曲线Cl与C2公共点的直角坐标;
(II)若α≠
,当α变化时,设曲线C1与C2的公共点为A,B,试求AB中点M轨迹的极坐标方程,并指出它表示什么曲线.
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点D为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线Cl的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的参数方程为
|
(I)当α=
π |
4 |
(II)若α≠
π |
2 |
分析:(I)先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程,再联立方程组求出交点坐标即可,
(II)设M(ρ,θ),不妨取A(0,θ),B(2ρ,θ),利用中点坐标公式得M点轨迹的极坐标方程,由极坐标方程即可看出其是什么类型的曲线.
(II)设M(ρ,θ),不妨取A(0,θ),B(2ρ,θ),利用中点坐标公式得M点轨迹的极坐标方程,由极坐标方程即可看出其是什么类型的曲线.
解答:解:(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.①
当α=
时,曲线C2的普通方程为y=x.②
由①,②得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1).…(4分)
(Ⅱ)C1是过极点的圆,C2是过极点的直线.
设M(ρ,θ),不妨取A(0,θ),B(2ρ,θ),则2ρ=2cosθ.…(7分)
故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ(θ≠
).
它表示以(
,0)为圆心,以
为半径的圆,去掉点(0,0).…(10分)
当α=
π |
4 |
由①,②得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1).…(4分)
(Ⅱ)C1是过极点的圆,C2是过极点的直线.
设M(ρ,θ),不妨取A(0,θ),B(2ρ,θ),则2ρ=2cosθ.…(7分)
故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ(θ≠
π |
2 |
它表示以(
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2 |
1 |
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点评:本题主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究轨迹问题的能力.

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