题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线和直线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与
轴交点为
,经过点
的直线与曲线
交于
,
两点,证明:
为定值.
【答案】(Ⅰ)曲线:
.
的直角坐标方程为
.(Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)根据曲线的参数方程,平方相加,即可求得曲线普通方程,再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,即可得到直线的直角坐标方程.
(Ⅱ)设过点的直线方程为
(
为参数),代入曲线的普通方程,根据参数的几何意义,即可求解.
(Ⅰ)由题意,可得,
化简得曲线:
.
直线的极坐标方程展开为
,
故的直角坐标方程为
.
(Ⅱ)显然的坐标为
,不妨设过点
的直线方程为
(
为参数),
代入:
得
,
所以为定值.
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练习册系列答案
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【题目】某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价,随机选取了50名购买该家电的消费者,让他们根据实际使用体验进行评分.
(Ⅰ)设消费者的年龄为,对该款智能家电的评分为
.若根据统计数据,用最小二乘法得到
关于
的线性回归方程为
,且年龄
的方差为
,评分
的方差为
.求
与
的相关系数
,并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.
(Ⅱ)按照一定的标准,将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”,评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请判断是否有的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.
好评 | 差评 | |
青年 | 8 | 16 |
中老年 | 20 | 6 |
附:线性回归直线的斜率
;相关系数
,独立性检验中的
,其中
.
临界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |