Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，和平面内一点（），过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，，试求，满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）圆心到直线的距离等于，即，所以，由解得，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，与椭圆方程联立可以求出坐标，此时，则，则的关系为，当直线的斜率存在时，设的方程为，与椭圆方程联立，消去得，设，，于是，（*），又，，，所以，整理、代入（*）式得到，所以，整理得.

试题解析：（1）；

（2）①当直线斜率不存在时，由解得，，不妨设，，

因为，所以，所以，的关系式为．

②当直线的斜率存在时，设点，，设直线：，联立椭圆整理得：

，

∴

.

所以，所以，的关系式为．