题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增,当
时,
在
)上单调递减,在
上单调递增;(2)当
或
时,
有1个零点;当
时,
有2个零点;当
时,
有0个零点.
【解析】
(1)对函数求导,分类讨论
和
时的单调性,即可得到结果.
(2)不是
的零点,即可分类参量,求解
的交点个数问题,对新函数
求导后作图,进而计算出零点个数问题.
(1)的定义域为
,
,
当时,
所以
在
上单调递增,
当时,由
得
,
所以,
,
单调递减,
,
,
单调递增 ,
综上,当时,
在
上单调递增,
当时,
在
)上单调递减,在
上单调递增;
(2)显然不是
的零点,
当时,由
得
,
令,则
.
所以在
上单调递减,
上单调递减,
上单调递增,
且当时,
,当x从左边趋近于0时,
,当x从右边趋近于0时,
,画出
的图象如图,数形结合知,
当或
即
或
时,
有1个零点,
当即
时,
有2个零点,
当即
时,
有0个零点.
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