题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，平面
平面
，二面角
为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明
平面
可得
，且
为二面角
的平面角，计算出
，可根据勾股定理得出
，可得
平面
.
（2）建立空间坐标系，求出平面
的法向量
,则
为直线
与平面所成角的正弦值．
解：（1）因为平面
平面
平面
平面
，
面，
.
所以平面，
因为
平面，所以
，
又因为，
所以即为二面角的平面角，所以
，
又因为在
中，
，
，由余弦定理得
，
所以
，所以，
又因为平面，
平面，所以
，
又因为
，所以平面.
（2）在平面内过点
作
.垂足为
，
因为平面平面，平面平面，所以
平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
，
，，
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，
所以
，即
，
取
，则平面的一个法向量为
.
记直线与平面所成角为
，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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