Question

如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB_1，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

(Ⅰ)求证:BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.

注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵                    

即，故

Answer 1

解 (Ⅰ)①∵面A₁EC⊥侧面AC₁,   ②∵面ABC⊥侧面AC₁,                                                              ③∵BE∥侧面AC₁,       ④∵BE∥AA₁,                                                                                       ⑤∵AF=FC,                                                                           

(Ⅱ)解:分别延长CE、C₁B₁交于点D,连结A₁D.

∵

∴

∵

∴即

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁,即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影,根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C,

所以∠CA₁C₁所求二面角的平面角.                                         ∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁,∠A₁C₁C=90°,

∴∠CA₁C₁=45°,即所求二面角为45°.